4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

문제설명

문제

1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.

4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다.

이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다.

백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다.

각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000)

입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n = a + b 형태로 출력한다. 이때, a와 b는 홀수 소수이다. 숫자와 연산자는 공백 하나로 구분되어져 있다. 만약, n을 만들 수 있는 방법이 여러 가지라면, b-a가 가장 큰 것을 출력한다. 또, 두 홀수 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우에는 “Goldbach’s conjecture is wrong.”을 출력한다.

접근

결과값을 구하는 부분을 제외하면 1929번 소수 구하기와 거의 유사한 문제이다. 입력받은 수보다 작은 모든 소수를 찾고 출력조건에 맞는 홀수의 합으로 나타내면 된다.

맨 처음 입력 최댓값인 MAX_NUM인 1000000까지의 모든 소수를 구했다. 홀수 소수만 검사하려는 생각도 했는데 에라토스테네스의 체 방식으로 소수를 구하면 처음 가장 작은 소수인 2를 검사하면서 짝수는 모두 처리되어 큰 차이가 없다.

두 홀수 소수의 합을 찾을 때, a는 3 이상 n/2 이하일 때 만 확인해보면 된다.

코드

#include <iostream>
#define MAX_NUM 1000000
using namespace std;

int main(){
	bool* arr = new bool[MAX_NUM+1];
	fill(arr, arr+MAX_NUM+1, true);
	arr[0] = arr[1] = false;

	for(int i=3; i<=MAX_NUM; i+=2){
    	if(arr[i]){
        	int j=3;
			while(i*j <= MAX_NUM){
				arr[i*j] = false;
				j+=2;
			}
		}
	}

	while(1){
		int n, a;
		scanf("%d", &n);
		a = -1;
		if(n == 0)
			break;
		
		for(int i=3; i<=n/2; i+=2){
			if(arr[i] && arr[n-i]){
				a = i;
				break;
			}		
		}
		
		if(a == -1)
			printf("Goldbach's conjecture is wrong.\n");
		else
			printf("%d = %d + %d\n", n, a, n-a);
	}
}

참고

Wikipedia, Sieve of Eratosthenes
BOJ #6588

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